Verstehen. Rechnen. Bestehen.
Das Mathe-Abitur, sauber nach Themen sortiert: kurze Erklärungen, typische Aufgaben und Lösungen zum Aufklappen.
OHNE
BLABLA
Analysis
Änderung · Verlauf · Fläche
GRUNDLAGEAbleitungen: Was verändert sich wie schnell?
Die Idee
Die Ableitung f′(x) gibt die momentane Steigung des Graphen an. Positive Werte bedeuten: f steigt. Negative Werte: f fällt. An Extremstellen ist die Steigung meistens null.
f′(x) = 3x² − 6x
- Potenzregel: xⁿ wird zu n · xⁿ⁻¹.
- Konstanten fallen weg.
- Für Extremstellen setzt du f′(x) = 0.
Ableiten & prüfen
Gegeben ist f(x) = 2x³ − 9x² + 12x. Bestimme f′(x) und alle Stellen mit waagerechter Tangente.
f′(x) = 6x² − 18x + 12
0 = 6(x² − 3x + 2) = 6(x − 1)(x − 2). Daher: x = 1 und x = 2.
KLASSIKERKurvendiskussion: Graphen systematisch lesen
Der sichere Ablauf
Arbeite immer in derselben Reihenfolge: Definitionsbereich, Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Grenzverhalten, Extrem- und Wendepunkte. So vergisst du in langen Aufgaben nichts.
Prüfung: f″(x) ≠ 0
Wendestelle: f″(x) = 0
- Kandidaten mit der passenden Ableitung finden.
- Art der Stelle über Vorzeichen oder nächste Ableitung prüfen.
- x-Wert in f einsetzen, damit du den ganzen Punkt erhältst.
Extrempunkte
Untersuche f(x) = x³ − 3x auf Extrempunkte.
f′(x)=3x²−3=0 → x=±1. f″(x)=6x.
Bei x=−1 ist f″ negativ: H(−1|2). Bei x=1 ist f″ positiv: T(1|−2).
FLÄCHEIntegrale: Bestände und Flächen berechnen
Vom Änderungswert zum Bestand
Ein bestimmtes Integral summiert unendlich viele kleine Beiträge. Oberhalb der x-Achse zählt die Fläche positiv, unterhalb negativ. Für den geometrischen Flächeninhalt musst du an Nullstellen aufteilen.
mit F′(x) = f(x)
Bestimmtes Integral
Berechne die Fläche zwischen f(x)=x² und der x-Achse von x=0 bis x=3.
F(x)=⅓x³. Also F(3)−F(0)=⅓·27=9 Flächeneinheiten.
Analytische Geometrie
Punkte · Geraden · Ebenen
3DVektoren und Geraden
Ortsvektor plus Richtung
Eine Gerade besteht aus einem bekannten Punkt und einer Richtung. Der Parameter r bewegt dich beliebig weit vor oder zurück.
Für eine Punktprobe setzt du die drei Koordinaten ein. Es muss in allen Zeilen derselbe Parameter r herauskommen.
Punktprobe
Liegt P(5|1|7) auf g: x⃗=(1|3|3)+r·(2|−1|2)?
Aus 1+2r=5 folgt r=2. Zweite Zeile: 3−2=1, dritte: 3+4=7. Alles passt: P liegt auf g.
LAGEEbenen und Normalenvektoren
Koordinatenform verstehen
Bei E: ax+by+cz=d steht n⃗=(a|b|c) senkrecht auf der Ebene. Das ist besonders praktisch für Winkel und Abstände.
n⃗ = (2 | −1 | 2)
Punkt einsetzen
Welche Punkte A(1|0|2), B(2|1|1) liegen auf E: 2x−y+2z=6?
A: 2·1−0+2·2=6 → A liegt auf E.
B: 4−1+2=5 → B liegt nicht auf E.
Stochastik
Zufall · Verteilung · Entscheidung
WAHRSCHEINLICHKEITBinomialverteilung
Gleicher Versuch, feste Trefferchance
Die Binomialverteilung passt, wenn es pro Versuch nur Treffer oder Niete gibt, die Trefferwahrscheinlichkeit p gleich bleibt und die Versuche unabhängig sind.
μ = n · p
Genau drei Treffer
Ein Freiwurf gelingt mit p=0,8. Wie groß ist bei 5 Würfen die Wahrscheinlichkeit für genau 3 Treffer?
P(X=3)=10·0,8³·0,2²=0,2048 ≈ 20,48 %.
ENTSCHEIDENHypothesentests ohne Formelsalat
Was wird geprüft?
Du nimmst zunächst an, die Nullhypothese H₀ sei wahr. Nur wenn das Ergebnis im Ablehnungsbereich liegt, verwirfst du sie. Das Signifikanzniveau α begrenzt dabei den Fehler 1. Art.
- H₀ und H₁ aus dem Text formulieren.
- Ein- oder zweiseitigen Test erkennen.
- Ablehnungsbereich so wählen, dass P(Fehler 1. Art) ≤ α.
Fehler verstehen
Was bedeutet ein Fehler 1. Art?
H₀ ist in Wirklichkeit richtig, wird aber aufgrund der Stichprobe verworfen: ein falscher Alarm.
Biochemie
Dieses Fach ist angelegt, aber noch nicht mit Aufgaben und Erklärungen gefüllt. Das Mathe-Archiv bleibt währenddessen vollständig erreichbar.