Aufgabe
Welche Gleichung löst du für Schnittpunkte von f und g?
Lösung öffnen
- Setze f(x)=g(x).
- Löse nach x und setze die x-Werte anschließend in eine Funktion ein.
- So erhältst du die vollständigen Schnittpunkte.
01.4
Fläche zwischen zwei Graphen berechnen
ANALYSIS · FLÄCHEN
Für die Fläche zwischen zwei Graphen brauchst du zuerst die Schnittpunkte. Im Intervall integrierst du die obere Funktion minus die untere und teilst an jedem Vorzeichen- oder Rollenwechsel auf. Diese Seite bündelt die wichtigsten Schritte für das Mathe-Abi im DACH-Raum.
ANALYSIS · FLÄCHEN
Oben minus unten
Für die Fläche zwischen zwei Graphen brauchst du zuerst die Schnittpunkte. Im Intervall integrierst du die obere Funktion minus die untere und teilst an jedem Vorzeichen- oder Rollenwechsel auf.
\[A=\int_a^b\bigl(f_{\mathrm{oben}}(x)-f_{\mathrm{unten}}(x)\bigr)\,dx\]
Schnittpunkte:Sie liefern die Integrationsgrenzen oder teilen das Gesamtintervall auf.
Reihenfolge:Die obere Funktion minus die untere Funktion ergibt eine positive Teilfläche.
Vorzeichen:Bei einem Wechsel der oberen Funktion muss das Integral in Teilintervalle zerlegt werden.
DACH-Hinweis: Der gemeinsame Kern gilt in Deutschland, Österreich und der Schweiz; Reihenfolge, Hilfsmittel und Vertiefung können sich je nach Bundesland oder Kanton unterscheiden.
ARBEITSWEG
So gehst du sicher vor
Ein fester Ablauf macht deine Lösung nachvollziehbar und hilft dir, typische Flüchtigkeitsfehler zu vermeiden.
CHECK
- Setze die Funktionen gleich und bestimme alle Schnittpunkte.
- Skizziere oder prüfe an einem Testwert, welche Funktion oben liegt.
- Integriere oben minus unten auf jedem passenden Intervall.
- Addiere Teilflächen und gib das Ergebnis mit Einheit an.
GERECHNETES BEISPIEL
Parabel und Gerade
Berechne die Fläche zwischen f(x)=2x und g(x)=x² von x=0 bis x=2.
\[A=\int_0^2(2x-x^2)\,dx=\left[x^2-\frac13x^3\right]_0^2=\frac43\]
Ergebnis: Im Intervall liegt die Gerade über der Parabel. Die Fläche beträgt 4/3 Flächeneinheiten.
5 AUFGABEN ZUM TRAINIEREN
Aufgabe
Berechne die Fläche zwischen f(x)=x+1 und der x-Achse von 0 bis 2.
Lösung öffnen
- f ist im Intervall positiv.
- A=∫₀²(x+1)dx=[½x²+x]₀²=4.
- Die Fläche beträgt 4 Flächeneinheiten.
Aufgabe
Woran erkennst du, dass du ein Intervall teilen musst?
Lösung öffnen
- Die obere Funktion wechselt oder der Differenzterm wechselt sein Vorzeichen.
- Bestimme die zusätzliche Null- oder Schnittstelle.
- Berechne die Teilflächen getrennt und addiere ihre Beträge.
Aufgabe
Berechne die Fläche zwischen f(x)=x und der x-Achse im Intervall [−2;2].
Lösung öffnen
- Der Graph wechselt bei x=0 die Seite; teile das Intervall dort.
- \(A=\int_{-2}^{0}(-x)\,dx+\int_0^2x\,dx\).
- Beide Teilflächen haben den Inhalt 2; insgesamt \(A=4\).
Aufgabe
Bestimme die eingeschlossene Fläche zwischen \(f(x)=4\) und \(g(x)=x^2\) für \(-2\leq x\leq2\).
Lösung öffnen
- Im Intervall gilt \(4\geq x^2\), also ist die Differenz \(4-x^2\).
- \(A=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx\).
- \([4x-\frac{x^3}{3}]_{-2}^{2}=\frac{32}{3}\) Flächeneinheiten.
Typische Fehler: Die Differenz muss auf jedem Teilintervall positiv sein. Schnittpunkte allein liefern noch keine Fläche; die Funktionen müssen in der richtigen Reihenfolge eingesetzt werden.
Häufige Fragen zu Fläche zwischen zwei Graphen berechnen
Wie finde ich die Grenzen?
Setze die beiden Funktionen gleich und löse die Schnittpunktgleichung.
Welche Funktion kommt zuerst?
Im jeweiligen Intervall die obere Funktion minus die untere. Ein Testwert oder eine Skizze verhindert Vorzeichenfehler.
Warum darf eine Fläche nicht negativ sein?
Der geometrische Flächeninhalt ist positiv; negative Integralwerte zeigen nur eine orientierte Fläche oder eine falsche Reihenfolge.
NÄCHSTER SCHRITT
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