Ableitungen trainieren — Mathe-Archiv

01A

Ableiten systematisch lernen

7 Etappen · 38 Aufgaben

Arbeite die Regeln der Reihe nach durch oder springe gezielt zu einer Etappe. Rechne erst selbst, hake die Aufgabe ab und öffne danach die Lösungen.

FORTSCHRITT: 0 / 38 erledigt

Die Häkchen werden nur in diesem Browser auf deinem Gerät gespeichert.

Potenzregel

Multipliziere mit dem Exponenten und verringere ihn um eins. Schreibe Wurzeln und Brüche zuerst als Potenz.

6 AUFGABEN

(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹
Beispiel: (x⁴)′ = 4x³

LÖSUNGEN ZU 01 ÖFFNEN

f′(x) = 5x⁴
f′(x) = 12x³
f′(x) = −14x⁶
f′(x) = 1/(2√x)
f′(x) = −12/x⁴
f′(x) = ⅔x^−1/3

Summen- und Faktorregel

Leite jeden Summanden einzeln ab. Ein konstanter Faktor bleibt vor der Ableitung stehen.

5 AUFGABEN

(u + v)′ = u′ + v′ · (c · u)′ = c · u′
Beispiel: (3x² − 5x + 7)′ = 6x − 5

LÖSUNGEN ZU 02 ÖFFNEN

f′(x) = 12x² − 7
f′(x) = 2x³ + 6x
f′(x) = −30x⁵ + 6x² − 1
f′(x) = 12x³ − 12x
f′(x) = ⁵⁄₄x⁴ + ½

Produktregel

Bei zwei multiplizierten Funktionen wird abwechselnd ein Faktor abgeleitet.

5 AUFGABEN

(u · v)′ = u′ · v + u · v′
Beispiel: [x²(x + 1)]′ = 2x(x + 1) + x²

LÖSUNGEN ZU 03 ÖFFNEN

f′(x) = 3x² + 6x
f′(x) = 6x² − 2x + 8
f′(x) = 3x²eˣ + x³eˣ
f′(x) = 2x sin(x) + (x² + 1)cos(x)
f′(x) = 3√x + (3x + 2)/(2√x)

Quotientenregel

Merksatz: „Nenner mal Zählerstrich minus Zähler mal Nennerstrich — durch Nenner²“.

5 AUFGABEN

(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Beispiel: [(x + 1)/x]′ = −1/x²

LÖSUNGEN ZU 04 ÖFFNEN

f′(x) = 1 − 1/x²
f′(x) = −5/(x − 1)²
f′(x) = (x² + 4x)/(x + 2)²
f′(x) = [x cos(x) − sin(x)]/x²
f′(x) = eˣ(x − 1)²/(x² + 1)²

Kettenregel

Leite zuerst die äußere Funktion ab und multipliziere dann mit der Ableitung der inneren Funktion.

6 AUFGABEN

[g(h(x))]′ = g′(h(x)) · h′(x)
Beispiel: [(2x + 1)³]′ = 3(2x + 1)² · 2

LÖSUNGEN ZU 05 ÖFFNEN

f′(x) = 15(3x + 1)⁴
f′(x) = 1/√(2x − 5)
f′(x) = 6x(x² + 4)²
f′(x) = 4e^4x
f′(x) = 2cos(2x + π)
f′(x) = −2x/(x² + 1)²

Gemischte Ableitungen

Erkenne zuerst die äußere Struktur. Häufig brauchst du zwei Regeln nacheinander.

6 AUFGABEN

Strategie: Struktur markieren → Hauptregel wählen → innere Teile ableiten → vereinfachen

LÖSUNGEN ZU 06 ÖFFNEN

f′(x) = 8x(x² + 1)³
f′(x) = 2xe^3x + 3x²e^3x
f′(x) = 3sin²(x)cos(x)
f′(x) = x/√(x² + 1)
f′(x) = (−2x² − 2x + 2)/(x² + 1)²
f′(x) = (x² + 3)(5x² + 3)

Anwendungen

Jetzt wird die Ableitung zum Werkzeug: Steigung, Tangente, Extremstellen, Bewegung und Grenzkosten.

5 AUFGABEN

Übersetze zuerst die Frage: Steigung → f′(x) · waagerecht → f′(x)=0 · Geschwindigkeit → s′(t)

f(x) = x³ − 3x. Bestimme die Steigung bei x = 2.
f(x) = x² − 4x. Bestimme die Tangente bei x = 1.
f(x) = x³ − 3x². Bestimme alle Stellen mit waagerechter Tangente.
s(t) = t³ − 6t² + 9t. Bestimme die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 2.
K(x) = 0,02x³ − 1,2x² + 40x + 500. Bestimme die Grenzkostenfunktion.

LÖSUNGEN ZU 07 ÖFFNEN

f′(x) = 3x² − 3, also f′(2) = 9.
f(1) = −3 und f′(1) = −2. Tangente: y = −2x − 1.
f′(x) = 3x(x − 2). Daher: x = 0 und x = 2.
v(t) = s′(t) = 3t² − 12t + 9, also v(2) = −3.
K′(x) = 0,06x² − 2,4x + 40.

Nächster sinnvoller Schritt: Wenn du die gemischten Aufgaben sicher lösen kannst, nutze die Ableitungen in den 36 Aufgaben zur Kurvendiskussion.