Aufgabe
Leite f(x)=5x⁴−2x ab.
Lösung öffnen
- Potenzregel: (5x⁴)′=20x³.
- Die Ableitung von −2x ist −2.
- f′(x)=20x³−2.
01.2
Ableitungsregeln verständlich erklärt
ANALYSIS · ABLEITUNGSREGELN
Ableiten wird übersichtlich, wenn du den Funktionsterm in seiner äußeren Struktur liest. Beginne mit einfachen Potenzen, erkenne Summen und Produkte und wende die Kettenregel an, wenn eine Funktion in einer anderen steckt. Diese Seite bündelt die wichtigsten Schritte für das Mathe-Abi im DACH-Raum.
ANALYSIS · ABLEITUNGSREGELN
Die passende Regel zuerst erkennen
Ableiten wird übersichtlich, wenn du den Funktionsterm in seiner äußeren Struktur liest. Beginne mit einfachen Potenzen, erkenne Summen und Produkte und wende die Kettenregel an, wenn eine Funktion in einer anderen steckt.
\[(x^n)'=n\,x^{n-1}\qquad (u\cdot v)'=u'v+uv'\]
Potenz:Die Potenzregel gilt direkt für xⁿ und passende konstante Faktoren.
Produkt/Quotient:Bei Produkten und Quotienten müssen beide Bestandteile einzeln abgeleitet werden.
Kette:Bei f(g(x)) wird die äußere Ableitung mit der inneren Ableitung multipliziert.
DACH-Hinweis: Der gemeinsame Kern gilt in Deutschland, Österreich und der Schweiz; Reihenfolge, Hilfsmittel und Vertiefung können sich je nach Bundesland oder Kanton unterscheiden.
ARBEITSWEG
So gehst du sicher vor
Ein fester Ablauf macht deine Lösung nachvollziehbar und hilft dir, typische Flüchtigkeitsfehler zu vermeiden.
CHECK
- Vereinfache den Term und prüfe, ob eine Summe, ein Produkt oder eine Verkettung vorliegt.
- Wähle die äußerste Struktur als erste Regel.
- Leite die Bestandteile ab und setze sie mit Klammern zusammen.
- Prüfe Vorzeichen und Grad mit einem groben Graphen- oder Einsetztest.
GERECHNETES BEISPIEL
Kettenregel anwenden
Leite f(x)=(3x²+1)⁴ ab.
\[f'(x)=4(3x^2+1)^3\cdot6x=24x(3x^2+1)^3\]
Ergebnis: Die äußere Potenz liefert den Faktor 4; danach wird die innere Funktion 3x²+1 mit 6x abgeleitet.
5 AUFGABEN ZUM TRAINIEREN
Aufgabe
Leite f(x)=x²·eˣ ab.
Lösung öffnen
- Produktregel: f′=2x·eˣ+x²·eˣ.
- eˣ bleibt beim Ableiten erhalten.
- f′(x)=eˣ(2x+x²).
Aufgabe
Welche Regel brauchst du für f(x)=sin(2x+1)?
Lösung öffnen
- Eine Funktion steckt in einer anderen: Kettenregel.
- Äußere Ableitung: cos(2x+1).
- Innere Ableitung: 2, also f′(x)=2cos(2x+1).
Aufgabe
Leite \(f(x)=\frac{x}{x+1}\) ab und gib die Definitionsbedingung an.
Lösung öffnen
- Quotientenregel: \(f'(x)=\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot1}{(x+1)^2}\).
- Im Zähler bleibt \((x+1)-x=1\).
- \(f'(x)=\frac1{(x+1)^2}\) für \(x\neq-1\).
Aufgabe
Jemand leitet \((2x+1)^3\) zu \(3(2x+1)^2\) ab. Welcher Faktor fehlt?
Lösung öffnen
- Die äußere Potenz liefert zunächst \(3(2x+1)^2\).
- Die innere Funktion \(2x+1\) hat die Ableitung 2.
- Mit der Kettenregel lautet das Ergebnis \(6(2x+1)^2\).
Typische Fehler: Bei einem Produkt darfst du nicht beide Faktoren getrennt ableiten und einfach multiplizieren. Bei einer Verkettung fehlt oft die Ableitung der inneren Funktion.
Häufige Fragen zu Ableitungsregeln verständlich erklärt
Wie viele Ableitungsregeln gibt es?
Für das Abi sind vor allem Potenz-, Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel wichtig; dazu kommen Grundableitungen.
Welche Regel wähle ich zuerst?
Lies die äußerste Struktur des Terms: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung.
Wie prüfe ich eine Ableitung?
Leite den erhaltenen Term grob zurück oder vergleiche an einem einfachen x-Wert die Steigung.
NÄCHSTER SCHRITT
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