Kurvendiskussion trainieren

ANALYSIS / KURVENDISKUSSIONIMPRESSUM

01B

Kurvendiskussion systematisch

7 Etappen · 36 Aufgaben

Untersuche erst einzelne Eigenschaften und rechne danach vollständige Kurvendiskussionen. Hake erledigte Aufgaben ab und öffne die Lösungen erst zum Prüfen.

FORTSCHRITT: 0 / 36 erledigt

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Funktions-Steckbrief

Starte mit Definitionsbereich, y-Achsenabschnitt und den nötigen Ableitungen. Ohne diesen Steckbrief fehlt später die Grundlage.

5 AUFGABEN

Check: D bestimmen · f(0) berechnen · f′, f″ und bei Bedarf f‴ bilden

Bestimme f′, f″ und f‴ für f(x) = x³ − 4x.
Bestimme f′, f″ und f‴ für f(x) = x⁴ − 2x² + 1.
Bestimme Definitionsbereich und y-Achsenabschnitt von f(x) = x³/(x − 1).
Bestimme Definitionsbereich und y-Achsenabschnitt von f(x) = √(x + 2).
Bestimme Definitionsbereich und y-Achsenabschnitt von f(x) = 1/(x² − 4).

LÖSUNGEN ZU 01 ÖFFNEN

f′(x)=3x²−4, f″(x)=6x, f‴(x)=6.
f′(x)=4x³−4x, f″(x)=12x²−4, f‴(x)=24x.
D=ℝ\{1}; f(0)=0, also S_y(0|0).
D=[−2;∞); f(0)=√2, also S_y(0|√2).
D=ℝ\{−2;2}; f(0)=−¼, also S_y(0|−¼).

ANALYSIS · NULLSTELLEN

Nullstellen berechnen: die passende Methode

Setze immer zuerst \(f(x)=0\). Danach entscheidest du nach der Struktur, ob Ausklammern, eine Lösungsformel oder quadratische Ergänzung am schnellsten zum Ziel führt.

ZERO

LINEAR

Lineare Gleichung

Bei \(ax+b=0\) stellst du direkt nach \(x\) um.

ax+b=0\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{b}{a}

Beispiel: \(2x-6=0\Rightarrow x=3\).

FAKTORISIEREN

Ausklammern und Produktregel

Erkennst du ein Produkt, setzt du jeden Faktor einzeln gleich null.

\[x^3-4x=x(x-2)(x+2)\]

Ergebnis: \(x=-2,0,2\).

QUADRATISCH

p-q-Formel

Für die normierte Form \(x^2+px+q=0\) ist sie der direkte Standardweg.

x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}

Beispiel: \(x^2-5x+6=0\Rightarrow x=2,3\).

QUADRATISCH

abc-Formel

Bei \(ax^2+bx+c=0\) funktioniert sie direkt, ohne vorher durch \(a\) zu teilen.

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Beispiel: \(2x^2-6x+4=0\Rightarrow x=1,2\).

UMFORMEN

Quadratische Ergänzung

Du formst ein Binom, um Scheitelpunkt und Nullstellen sichtbar zu machen.

x^2+px+q=0\quad\Longrightarrow\quad\left(x+\frac{p}{2}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q

Beispiel: \(x^2+4x-5=0\Rightarrow (x+2)^2=9\Rightarrow x=1,-5\).

Entscheidungshilfe: Erst faktorisieren oder substituieren, wenn die Struktur es anbietet. Die p-q-Formel verlangt die normierte Form; die abc-Formel kannst du direkt auf \(ax^2+bx+c=0\) anwenden.

Nullstellen

Setze f(x)=0. Nutze zuerst Ausklammern, erkennbare Faktoren oder eine Substitution; erst danach p-q- oder abc-Formel.

5 AUFGABEN

f(x)=x³−4x = x(x²−4) = x(x−2)(x+2)

Bestimme die Nullstellen von f(x)=x³−4x.
Bestimme die Nullstellen von f(x)=x⁴−5x²+4.
Bestimme die Nullstellen und ihre Vielfachheit von f(x)=(x−3)²(x+1).
Bestimme die Nullstelle von f(x)=eˣ−3.
Bestimme Definitionslücken und Nullstellen von f(x)=(x²−1)/(x−2).

LÖSUNGEN ZU 02 ÖFFNEN

x=−2, 0 und 2.
Mit u=x²: u²−5u+4=0, also u=1 oder 4. Damit x=−2, −1, 1, 2.
x=−1 ist einfach; x=3 ist doppelt. Bei x=3 berührt der Graph die x-Achse.
eˣ=3, also x=ln(3).
Definitionslücke bei x=2; Nullstellen bei x=−1 und x=1.

Symmetrie und Grenzverhalten

Vergleiche f(−x) mit f(x) und −f(x). Danach bestimmen höchste Potenz oder Zähler und Nenner den Verlauf im Unendlichen.

5 AUFGABEN

f(−x)=f(x): y-Achsensymmetrie · f(−x)=−f(x): Punktsymmetrie zum Ursprung

Untersuche Symmetrie und Grenzverhalten von f(x)=x⁴−3x²+1.
Untersuche Symmetrie und Grenzverhalten von f(x)=x³−2x.
Untersuche Symmetrie und Grenzverhalten von f(x)=x³+x².
Untersuche f(x)=1/x auf Symmetrie und Asymptoten.
Untersuche f(x)=x²/(x²+1) auf Symmetrie und Grenzverhalten.

LÖSUNGEN ZU 03 ÖFFNEN

Gerade Funktion, also y-achsensymmetrisch. Für x→±∞ gilt f(x)→∞.
Ungerade Funktion, also punktsymmetrisch zum Ursprung. Für x→∞ gilt f→∞; für x→−∞ gilt f→−∞.
Weder gerade noch ungerade. Für x→∞ gilt f→∞; für x→−∞ gilt f→−∞.
Ungerade, also punktsymmetrisch zum Ursprung. Senkrechte Asymptote x=0, waagerechte Asymptote y=0.
Gerade, also y-achsensymmetrisch. Für x→±∞ gilt f(x)→1; waagerechte Asymptote y=1.

Extrempunkte

Löse f′(x)=0, klassifiziere die Kandidaten mit f″ oder dem Vorzeichenwechsel und berechne immer auch den y-Wert.

6 AUFGABEN

f′(x₀)=0 und f″(x₀)<0 → Hochpunkt · f″(x₀)>0 → Tiefpunkt

Bestimme die Extrempunkte von f(x)=x³−3x.
Bestimme die Extrempunkte von f(x)=x⁴−4x².
Bestimme den Extrempunkt von f(x)=−x²+4x+1.
Bestimme die Extrempunkte von f(x)=x³−6x²+9x.
Untersuche alle stationären Stellen von f(x)=x⁴+4x³.
Bestimme den Extrempunkt von f(x)=eˣ−2x.

LÖSUNGEN ZU 04 ÖFFNEN

f′=3x²−3. Hochpunkt H(−1|2), Tiefpunkt T(1|−2).
f′=4x(x²−2). Hochpunkt H(0|0); Tiefpunkte T₁(−√2|−4) und T₂(√2|−4).
f′=−2x+4. Hochpunkt H(2|5).
f′=3(x−1)(x−3). Hochpunkt H(1|4), Tiefpunkt T(3|0).
f′=4x²(x+3). Bei x=−3 liegt T(−3|−27). Bei x=0 liegt kein Extremum, sondern eine stationäre Wendestelle.
f′=eˣ−2=0 ergibt x=ln(2). Da f″=eˣ>0: T(ln(2)|2−2ln(2)).

Wendepunkte

Löse f″(x)=0 und prüfe einen Krümmungswechsel – etwa mit f‴(x₀)≠0. Eine waagerechte Tangente macht den Wendepunkt zum Sattelpunkt.

5 AUFGABEN

f″(x₀)=0 und f‴(x₀)≠0 → Wendepunkt · zusätzlich f′(x₀)=0 → Sattelpunkt

Bestimme den Wendepunkt von f(x)=x³−3x².
Bestimme die Wendepunkte von f(x)=x⁴−4x³.
Bestimme Wendepunkt und Wendetangente von f(x)=x³+x.
Bestimme die Wendepunkte von f(x)=−x⁴+6x².
Untersuche den Ursprung von f(x)=x⁵ auf eine besondere Stelle.

LÖSUNGEN ZU 05 ÖFFNEN

f″=6x−6. Wendepunkt W(1|−2).
f″=12x(x−2). Wendepunkte W₁(0|0) und W₂(2|−16).
f″=6x. W(0|0); f′(0)=1, daher lautet die Wendetangente y=x.
f″=12(1−x²). Wendepunkte W₁(−1|5) und W₂(1|5).
f′(0)=f″(0)=0 und f″ wechselt an 0 das Vorzeichen. Der Ursprung ist ein Sattelpunkt S(0|0).

Vollständige Kurvendiskussion

Führe nun Definitionsbereich, Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Grenzverhalten, Extrem- und Wendepunkte zusammen.

5 AUFGABEN

Notiere Ergebnisse als geordneten Steckbrief – nicht als ungeordnete Nebenrechnungen.

Diskutiere vollständig: f(x)=x²−4.
Diskutiere vollständig: f(x)=x³−3x.
Diskutiere vollständig: f(x)=x⁴−4x².
Diskutiere vollständig: f(x)=−x³+3x.
Diskutiere vollständig: f(x)=x³−6x²+9x.

LÖSUNGEN ZU 06 ÖFFNEN

D=ℝ; gerade; S_y(0|−4); Nullstellen ±2; T(0|−4); keine Wendepunkte; f→∞ für x→±∞.
D=ℝ; ungerade; Nullstellen −√3, 0, √3; H(−1|2), T(1|−2); W(0|0); links f→−∞, rechts f→∞.
D=ℝ; gerade; Nullstellen −2, 0 (doppelt), 2; H(0|0); T(±√2|−4); W(±√(⅔)|−20/9); f→∞ für x→±∞.
D=ℝ; ungerade; Nullstellen −√3, 0, √3; T(−1|−2), H(1|2); W(0|0); links f→∞, rechts f→−∞.
D=ℝ; keine Standardsymmetrie; Nullstellen 0 und 3 (doppelt); H(1|4), T(3|0); W(2|2); links f→−∞, rechts f→∞.

Anwendungen und Parameter

Übersetze die Situation in Bedingungen an f, f′ oder f″. Erst danach wird gerechnet.

5 AUFGABEN

Maximum → f′(x)=0 und Hochpunkt · Wendestelle bei x₀ → f″(x₀)=0

Bestimme die Tangente an f(x)=x³−3x²+2 bei x=1.
Ein Erlös ist E(x)=50x−0,5x². Bestimme Absatzmenge und Erlös im Maximum.
Die Höhe eines Balls ist h(t)=−5t²+20t+1. Wann und in welcher Höhe liegt das Maximum?
Bestimme für a>0 die Extrempunkte der Schar f_a(x)=x³−3ax.
Die Funktion f_a(x)=x³+ax² soll bei x=2 eine Wendestelle haben. Bestimme a und den Wendepunkt.

LÖSUNGEN ZU 07 ÖFFNEN

f(1)=0 und f′(1)=−3. Tangente: y=−3x+3.
E′(x)=50−x. Maximum bei x=50; E(50)=1250.
h′(t)=−10t+20. Maximum bei t=2; h(2)=21.
f′=3(x²−a). H(−√a|2a√a) und T(√a|−2a√a).
f″(x)=6x+2a. Aus f″(2)=0 folgt a=−6. Dann f(2)=8−24=−16, also W(2|−16).

Arbeitsweise: Wenn eine komplette Diskussion noch stockt, springe gezielt zum betroffenen Einzelschritt zurück. Ungeordnete Komplettlösungen verdecken sonst nur, wo der eigentliche Fehler liegt.

Nullstellen berechnen als Formelsammlung: pq-Formel, abc-Formel und quadratische Ergänzung. — Nullstellen und Kurvendiskussion als kompakte Formelsammlung · Lernarchiv Online