Aufgabe
Bestimme eine Stammfunktion zu f(x)=4x³.
Lösung öffnen
- Exponent erhöhen: x⁴.
- Durch 4 teilen: F(x)=x⁴.
- Allgemein: F(x)=x⁴+C.
01.3
Stammfunktionen bestimmen
ANALYSIS · STAMMFUNKTIONEN
Eine Stammfunktion F zu f erfüllt F′(x)=f(x). Du gehst beim Bestimmen meist rückwärts zur Potenzregel, setzt die Integrationskonstante +C dazu und prüfst dein Ergebnis durch erneutes Ableiten. Diese Seite bündelt die wichtigsten Schritte für das Mathe-Abi im DACH-Raum.
ANALYSIS · STAMMFUNKTIONEN
Rückwärts von der Ableitung
Eine Stammfunktion F zu f erfüllt F′(x)=f(x). Du gehst beim Bestimmen meist rückwärts zur Potenzregel, setzt die Integrationskonstante +C dazu und prüfst dein Ergebnis durch erneutes Ableiten.
\[\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad n\neq-1\]
Exponent:Bei xⁿ wird der Exponent um 1 erhöht und durch den neuen Exponenten geteilt.
Konstante:Jede Stammfunktion braucht die freie Konstante +C.
Sonderfall:Für 1/x gilt \(\int\frac1x dx=\ln|x|+C\), weil n=−1 ausgeschlossen ist.
DACH-Hinweis: Der gemeinsame Kern gilt in Deutschland, Österreich und der Schweiz; Reihenfolge, Hilfsmittel und Vertiefung können sich je nach Bundesland oder Kanton unterscheiden.
ARBEITSWEG
So gehst du sicher vor
Ein fester Ablauf macht deine Lösung nachvollziehbar und hilft dir, typische Flüchtigkeitsfehler zu vermeiden.
CHECK
- Zerlege Summen und ziehe konstante Faktoren vor das Integral.
- Wende die Grundstammfunktionen auf jeden Summanden an.
- Ergänze +C bei einem unbestimmten Integral.
- Leite F zur Probe ab und vergleiche mit f.
GERECHNETES BEISPIEL
Polynom integrieren
Bestimme eine Stammfunktion zu f(x)=6x²−4x+1.
\[F(x)=2x^3-2x^2+x+C\qquad F'(x)=6x^2-4x+1\]
Ergebnis: Die Probe bestätigt die Stammfunktion. Unterschiedliche Werte von C beschreiben dieselbe Familie von Stammfunktionen.
5 AUFGABEN ZUM TRAINIEREN
Aufgabe
Bestimme eine Stammfunktion zu f(x)=3x²−2.
Lösung öffnen
- ∫3x² dx=x³.
- ∫−2 dx=−2x.
- F(x)=x³−2x+C.
Aufgabe
Warum ist F(x)=ln|x| eine Stammfunktion von 1/x?
Lösung öffnen
- Die Ableitung von ln|x| ist 1/x für x≠0.
- Der Betrag hält die Formel auf beiden Seiten der Definitionslücke korrekt.
- Bei x=0 ist die Funktion nicht definiert.
Aufgabe
Bestimme eine Stammfunktion zu \(f(x)=2x-4+e^x\).
Lösung öffnen
- Integriere jeden Summanden einzeln.
- \(\int2x\,dx=x^2\), \(\int-4\,dx=-4x\) und \(\int e^x\,dx=e^x\).
- \(F(x)=x^2-4x+e^x+C\).
Aufgabe
Für \(F(x)=x^2-4x+e^x+C\) soll \(F(1)=0\) gelten. Bestimme C.
Lösung öffnen
- Setze x=1 ein: \(1-4+e+C=0\).
- Daraus folgt \(C=3-e\).
- Die gesuchte Stammfunktion ist \(F(x)=x^2-4x+e^x+3-e\).
Typische Fehler: Beim Integrieren wird der Exponent erhöht, nicht verringert. Ohne +C ist die allgemeine Stammfunktion unvollständig.
Häufige Fragen zu Stammfunktionen bestimmen
Was ist eine Stammfunktion?
Eine Funktion F ist Stammfunktion von f, wenn ihre Ableitung F′ gleich f ist.
Warum steht +C dabei?
Alle Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine Konstante, weil die Ableitung einer Konstante null ist.
Wann brauche ich ln|x|?
Beim Integrieren von 1/x; die Definitionslücke bei x=0 bleibt bestehen.
NÄCHSTER SCHRITT
Verwandte Lernseiten
Bleibe im Lernpfad und wechsle direkt zu einer passenden Erklärung oder Übung.