Aufgabe
Liegt P(5|1|8) auf \(g:(1|2|0)+t(2|-1|4)\)?
Lösung öffnen
- Aus der ersten Koordinate folgt t=2.
- Zweite Koordinate: 2−2=0, nicht 1.
- P liegt nicht auf g.
02.1
Geradengleichung im Raum aufstellen
ANALYTISCHE GEOMETRIE · GERADEN
Eine Gerade im Raum wird durch einen bekannten Punkt und einen Richtungsvektor beschrieben. Mit zwei Punkten kannst du die Richtung selbst bilden und danach jede Punktprobe koordinatenweise kontrollieren. Diese Seite bündelt die wichtigsten Schritte für das Mathe-Abi im DACH-Raum.
ANALYTISCHE GEOMETRIE · GERADEN
Ein Punkt plus eine Richtung
Eine Gerade im Raum wird durch einen bekannten Punkt und einen Richtungsvektor beschrieben. Mit zwei Punkten kannst du die Richtung selbst bilden und danach jede Punktprobe koordinatenweise kontrollieren.
\[g:\ \vec{x}=\vec{p}+t\,\vec{u}\qquad\vec{u}=\vec{B}-\vec{A}\]
Stützvektor:Der Stützvektor zeigt einen Punkt, der sicher auf der Geraden liegt.
Richtung:Der Richtungsvektor darf nicht der Nullvektor sein und bestimmt die Bewegungsrichtung.
Parameter:Für eine Punktprobe muss in allen drei Koordinaten derselbe Parameter t gelten.
DACH-Hinweis: Der gemeinsame Kern gilt in Deutschland, Österreich und der Schweiz; Reihenfolge, Hilfsmittel und Vertiefung können sich je nach Bundesland oder Kanton unterscheiden.
ARBEITSWEG
So gehst du sicher vor
Ein fester Ablauf macht deine Lösung nachvollziehbar und hilft dir, typische Flüchtigkeitsfehler zu vermeiden.
CHECK
- Wähle einen bekannten Punkt als Stützvektor.
- Bilde aus zwei Punkten den Richtungsvektor \(\vec{u}=\vec{B}-\vec{A}\).
- Setze beide Vektoren in die Parameterform ein.
- Prüfe einen Punkt, indem du in allen Koordinaten denselben Parameter erhältst.
GERECHNETES BEISPIEL
Gerade durch zwei Punkte
Gegeben sind A(1|2|0) und B(4|0|6).
\[\vec{u}=\vec{B}-\vec{A}=\begin{pmatrix}3\\-2\\6\end{pmatrix}\qquad g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\-2\\6\end{pmatrix}\]
Ergebnis: Für t=0 erhältst du A, für t=1 erhältst du B. Damit liegen beide Punkte auf g.
5 AUFGABEN ZUM TRAINIEREN
Aufgabe
Stelle die Gerade durch A(2|−1|3) und B(0|3|1) auf.
Lösung öffnen
- \(\vec{u}=B−A=(-2|4|-2)\).
- Mit A als Stützpunkt: \(g:(2|-1|3)+t(-2|4|-2)\).
- Jeder Punkt dieser Parameterform liegt auf der gesuchten Geraden.
Aufgabe
Was bedeutet t=−1 in einer Geradengleichung?
Lösung öffnen
- Der Punkt liegt eine Richtungsvektorlänge entgegen der gewählten Richtung.
- Setze t=−1 in alle Koordinaten ein.
- Der Parameter beschreibt also Lage und Richtung, keine zusätzliche Dimension.
Aufgabe
Stelle die Gerade durch A(−1|2|0) und B(3|1|4) in Parameterform auf.
Lösung öffnen
- Richtungsvektor: \(\vec u=\vec B-\vec A=(4|-1|4)\).
- Nutze A als Stützpunkt.
- \(g:\vec x=(-1|2|0)+t(4|-1|4)\).
Aufgabe
Ein Punkt liefert in einer Punktprobe die Parameter t=2, t=2 und t=−2. Liegt er auf der Geraden?
Lösung öffnen
- Vergleiche die Parameter aus allen Koordinaten.
- Sie müssen übereinstimmen, damit derselbe Punkt erreicht wird.
- Hier widersprechen sie sich; der Punkt liegt nicht auf der Geraden.
Typische Fehler: Die Reihenfolge B−A oder A−B ist egal, solange der gewählte Richtungsvektor zur gesamten Geraden passt. Ein Punkt liegt nur dann auf der Geraden, wenn alle drei Koordinaten denselben Parameter liefern.
Häufige Fragen zu Geradengleichung im Raum aufstellen
Wie stelle ich eine Geradengleichung durch zwei Punkte auf?
Ziehe die Koordinaten des ersten Punktes vom zweiten ab und verwende die Differenz als Richtungsvektor. Einen der Punkte setzt du als Stützvektor ein.
Wie mache ich eine Punktprobe?
Setze die Koordinaten des Punktes ein und löse jede Zeile nach dem Parameter. Nur ein identischer Parameter in allen Zeilen bestätigt die Punktprobe.
Was ist ein Stützvektor?
Der Stützvektor ist der Ortsvektor eines Punktes, der auf der Geraden liegt.
NÄCHSTER SCHRITT
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