Aufgabe
Was musst du zuerst prüfen, bevor du ein LGS aufstellst?
Lösung öffnen
- Vergleiche die Richtungsvektoren.
- Prüfe, ob einer ein Vielfaches des anderen ist.
- Damit erkennst du die parallelen Fälle sofort.
02.2
Lagebeziehungen von Geraden im Raum
ANALYTISCHE GEOMETRIE · LAGEBEZIEHUNGEN
Zwei Geraden können identisch, echt parallel, schneidend oder windschief sein. Vergleiche zuerst die Richtungsvektoren und löse erst danach ein Gleichungssystem. So bleibt die Fallentscheidung nachvollziehbar. Diese Seite bündelt die wichtigsten Schritte für das Mathe-Abi im DACH-Raum.
ANALYTISCHE GEOMETRIE · LAGEBEZIEHUNGEN
Vier Fälle sicher unterscheiden
Zwei Geraden können identisch, echt parallel, schneidend oder windschief sein. Vergleiche zuerst die Richtungsvektoren und löse erst danach ein Gleichungssystem. So bleibt die Fallentscheidung nachvollziehbar.
\[g:\vec{x}=\vec{p}+s\vec{u}\qquad h:\vec{x}=\vec{q}+t\vec{v}\]
Identisch:Richtungen sind Vielfache und ein Punkt der einen Geraden liegt auf der anderen.
Parallel:Richtungen sind Vielfache, aber die Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt.
Schnitt oder windschief:Sind die Richtungen keine Vielfachen, entscheidet ein LGS über gemeinsamen Punkt oder Widerspruch.
DACH-Hinweis: Der gemeinsame Kern gilt in Deutschland, Österreich und der Schweiz; Reihenfolge, Hilfsmittel und Vertiefung können sich je nach Bundesland oder Kanton unterscheiden.
ARBEITSWEG
So gehst du sicher vor
Ein fester Ablauf macht deine Lösung nachvollziehbar und hilft dir, typische Flüchtigkeitsfehler zu vermeiden.
CHECK
- Prüfe, ob \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) Vielfache sind.
- Bei parallelen Richtungen: Mache eine Punktprobe mit dem Stützpunkt.
- Bei nicht parallelen Richtungen: Setze beide Geraden gleich und löse das LGS.
- Setze die Parameter in alle drei Koordinaten ein und deute den Fall sprachlich.
GERECHNETES BEISPIEL
Schnittpunkt berechnen
Für g:(0|0|0)+s(1|1|0) und h:(1|0|0)+t(−1|1|0) werden die Koordinaten gleichgesetzt.
\[s=1-t\qquad s=t\qquad\Rightarrow\qquad s=t=\frac12\]
Ergebnis: Der gemeinsame Punkt ist S(0,5|0,5|0). Die Geraden schneiden sich.
5 AUFGABEN ZUM TRAINIEREN
Aufgabe
Welche Lage haben g:(0|0|0)+s(1|2|0) und h:(1|1|0)+t(2|4|0)?
Lösung öffnen
- Die Richtungsvektoren sind Vielfache.
- Punkt (1|1|0) liegt nicht auf g, denn aus x folgt s=1, aus y folgt s=0,5.
- Die Geraden sind echt parallel.
Aufgabe
Was bedeutet ein gemeinsamer Parameter nicht?
Lösung öffnen
- Die Parameter s und t gehören zu verschiedenen Geraden.
- Sie müssen nicht gleich sein; entscheidend ist ein gemeinsamer Punkt.
- Löse deshalb das LGS mit beiden Parametern.
Aufgabe
Untersuche \(g:(1|0|0)+s(1|1|0)\) und \(h:(0|1|0)+t(1|-1|0)\) auf einen Schnittpunkt.
Lösung öffnen
- Gleichsetzen ergibt \(1+s=t\) und \(s=1-t\); die dritte Koordinate stimmt bereits.
- Einsetzen liefert \(s=0\) und \(t=1\).
- Schnittpunkt: \(S=(1|0|0)\).
Aufgabe
Zwei Geraden haben nicht proportionale Richtungsvektoren. Reicht das schon, um „schneidend“ zu sagen?
Lösung öffnen
- Nein. Nicht proportionale Richtungen schließen nur Parallelität aus.
- Gleichsetzen und das entstehende LGS lösen.
- Nur eine gemeinsame Lösung in allen Koordinaten bedeutet einen Schnittpunkt; ein Widerspruch bedeutet windschief.
Typische Fehler: Vielfache Richtungsvektoren beweisen nur Parallelität oder Identität, nicht automatisch Identität. Ein Widerspruch in einer Koordinate bedeutet bei nicht parallelen Geraden: Die Geraden sind windschief.
Häufige Fragen zu Lagebeziehungen von Geraden im Raum
Welche vier Lagebeziehungen gibt es?
Geraden können identisch, echt parallel, schneidend oder windschief sein.
Wann sind zwei Geraden parallel?
Wenn ihre Richtungsvektoren Vielfache sind. Für echte Parallelität darf zusätzlich kein gemeinsamer Punkt existieren.
Wie erkenne ich windschiefe Geraden?
Die Richtungsvektoren sind keine Vielfachen und das Gleichsetzen der Geraden führt zu einem Widerspruch.
NÄCHSTER SCHRITT
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