Aufgabe
Sind u=(2|1) und v=(1|−2) orthogonal?
Lösung öffnen
- u·v=2·1+1·(−2)=0.
- Das Skalarprodukt ist null.
- Die Vektoren sind orthogonal.
02.4
Skalarprodukt und Winkel mit Vektoren
ANALYTISCHE GEOMETRIE · WINKEL
Das Skalarprodukt vergleicht zwei Richtungen. Ist es null, stehen die Vektoren senkrecht. Für einen Winkel setzt du das Skalarprodukt ins Verhältnis zu den beiden Vektorlängen. Diese Seite bündelt die wichtigsten Schritte für das Mathe-Abi im DACH-Raum.
ANALYTISCHE GEOMETRIE · WINKEL
Winkel als Verhältnis
Das Skalarprodukt vergleicht zwei Richtungen. Ist es null, stehen die Vektoren senkrecht. Für einen Winkel setzt du das Skalarprodukt ins Verhältnis zu den beiden Vektorlängen.
\[\vec u\cdot\vec v=\lvert\vec u\rvert\,\lvert\vec v\rvert\cos(\alpha)\]
Skalarprodukt:Multipliziere entsprechende Koordinaten und addiere die Ergebnisse.
Länge:Die Norm eines Vektors ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate.
Winkel:Der kleinere Winkel liegt zwischen 0° und 180°; runde erst am Ende.
DACH-Hinweis: Der gemeinsame Kern gilt in Deutschland, Österreich und der Schweiz; Reihenfolge, Hilfsmittel und Vertiefung können sich je nach Bundesland oder Kanton unterscheiden.
ARBEITSWEG
So gehst du sicher vor
Ein fester Ablauf macht deine Lösung nachvollziehbar und hilft dir, typische Flüchtigkeitsfehler zu vermeiden.
CHECK
- Berechne \(\vec u\cdot\vec v\) und beide Längen.
- Setze in \(\cos(\alpha)=\frac{u\cdot v}{|u||v|}\) ein.
- Bestimme den Winkel mit arccos.
- Prüfe: positives Skalarprodukt bedeutet spitzen, negatives stumpfen Winkel.
GERECHNETES BEISPIEL
Senkrechte Richtungen
Für \(\vec u=(1|0)\) und \(\vec v=(0|1)\) gilt:
\[\vec u\cdot\vec v=1\cdot0+0\cdot1=0\qquad\Rightarrow\qquad\alpha=90^\circ\]
Ergebnis: Die Vektoren sind orthogonal. Ein Null-Skalarprodukt ist der schnellste Orthogonalitätstest.
5 AUFGABEN ZUM TRAINIEREN
Aufgabe
Berechne die Länge von u=(3|4|0).
Lösung öffnen
- \(|u|=\sqrt{3²+4²+0²}\).
- Das ist \(\sqrt{25}=5\).
- Die Vektorlänge beträgt 5.
Aufgabe
Was sagt ein negatives Skalarprodukt über den Winkel?
Lösung öffnen
- Der Kosinus ist negativ.
- Der kleinere Winkel ist stumpf, also größer als 90°.
- Das Vorzeichen liefert eine qualitative Kontrolle.
Aufgabe
Berechne den Winkel zwischen \(\vec u=(1|1|0)\) und \(\vec v=(1|0|1)\).
Lösung öffnen
- \(\vec u\cdot\vec v=1\), außerdem \(|\vec u|=|\vec v|=\sqrt2\).
- \(\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac12\).
- Also ist \(\alpha=60^\circ\).
Aufgabe
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist 0. Welche Aussage ist sicher richtig?
Lösung öffnen
- Mindestens einer der Vektoren könnte der Nullvektor sein; dann ist das Produkt ebenfalls 0.
- Sind beide Vektoren ungleich null, stehen sie senkrecht.
- Prüfe daher zuerst, ob beide Vektoren eine positive Länge haben.
Typische Fehler: Das Skalarprodukt ist keine Vektorlänge; es ist eine Zahl. Runde Zwischenergebnisse nicht zu früh, sonst kann der Winkel merklich abweichen.
Häufige Fragen zu Skalarprodukt und Winkel mit Vektoren
Wann sind zwei Vektoren orthogonal?
Genau dann, wenn ihr Skalarprodukt null ist.
Wie berechne ich einen Winkel?
Teile das Skalarprodukt durch das Produkt der Längen und wende arccos an.
Warum muss ich die Vektorlängen berechnen?
Das Skalarprodukt allein hängt zusätzlich von den Längen ab; erst die Normierung liefert den Kosinus des Winkels.
NÄCHSTER SCHRITT
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