Aufgabe
Berechne bei n=4 und p=0,3 die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Treffer.
Lösung öffnen
- Setze n=4, k=2 und p=0,3 ein.
- \(\binom42·0,3²·0,7²=0,2646\).
- Das Ergebnis beträgt 26,46 %.
03.1
Binomialverteilung verstehen und berechnen
STOCHASTIK · BINOMIALVERTEILUNG
Die Binomialverteilung modelliert eine feste Anzahl unabhängiger Versuche mit genau zwei Ergebnissen. Entscheidend sind die Versuchszahl n und die konstante Trefferwahrscheinlichkeit p. Diese Seite bündelt die wichtigsten Schritte für das Mathe-Abi im DACH-Raum.
STOCHASTIK · BINOMIALVERTEILUNG
Gleicher Versuch, feste Trefferchance
Die Binomialverteilung modelliert eine feste Anzahl unabhängiger Versuche mit genau zwei Ergebnissen. Entscheidend sind die Versuchszahl n und die konstante Trefferwahrscheinlichkeit p.
\[P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\qquad\mu=np\]
Zwei Ausgänge:Jeder Versuch wird als Treffer oder Nichttreffer gezählt.
Konstantes p:Die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt in jedem Versuch gleich.
Unabhängigkeit:Das Ergebnis eines Versuchs verändert die anderen Versuche nicht.
DACH-Hinweis: Der gemeinsame Kern gilt in Deutschland, Österreich und der Schweiz; Reihenfolge, Hilfsmittel und Vertiefung können sich je nach Bundesland oder Kanton unterscheiden.
ARBEITSWEG
So gehst du sicher vor
Ein fester Ablauf macht deine Lösung nachvollziehbar und hilft dir, typische Flüchtigkeitsfehler zu vermeiden.
CHECK
- Übersetze den Text: Was ist ein Treffer, wie groß sind n und p?
- Entscheide, ob genau, mindestens, höchstens oder zwischen gesucht ist.
- Verwende die Binomialformel oder den Rechnerweg mit klarer Notation.
- Formuliere das Ergebnis mit Einheit oder Kontextsatz und prüfe die Größenordnung.
GERECHNETES BEISPIEL
Genau drei Treffer
Ein Freiwurf gelingt mit p=0,8. Wie wahrscheinlich sind genau 3 Treffer bei n=5 Würfen?
\[P(X=3)=\binom53\cdot0{,}8^3\cdot0{,}2^2=0{,}2048\]
Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit beträgt 20,48 %. Das Modell passt nur, wenn die fünf Versuche unabhängig sind und p gleich bleibt.
5 AUFGABEN ZUM TRAINIEREN
Aufgabe
Wie groß ist bei n=5 und p=0,2 die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer?
Lösung öffnen
- Nutze das Gegenereignis: P(X≥1)=1−P(X=0).
- \(1−0,8^5=0,67232\).
- Die Wahrscheinlichkeit beträgt 67,232 %.
Aufgabe
Was bedeutet der Erwartungswert \(\mu=np\) bei n=50 und p=0,12?
Lösung öffnen
- Berechne \(\mu=50·0,12=6\).
- Langfristig sind im Mittel 6 Treffer pro 50 Versuche zu erwarten.
- Der Erwartungswert muss nicht in jedem einzelnen Versuchsdurchlauf auftreten.
Aufgabe
Für \(X\sim B(3;0{,}2)\): Wie groß ist \(P(X\leq1)\)?
Lösung öffnen
- Addiere die Fälle 0 und 1: \(P(X=0)+P(X=1)\).
- \(0{,}8^3+\binom31\cdot0{,}2\cdot0{,}8^2=0{,}512+0{,}384\).
- Damit ist \(P(X\leq1)=0{,}896=89{,}6\%\).
Aufgabe
Bei n=100 unabhängigen Versuchen beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit p=0,4. Bestimme Erwartungswert und Standardabweichung.
Lösung öffnen
- \(\mu=np=100\cdot0{,}4=40\).
- \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{24}\approx4{,}90\).
- Langfristig sind im Mittel 40 Treffer zu erwarten; typische Abweichungen liegen ungefähr in der Größenordnung von 4,9 Treffern.
Typische Fehler: „Mindestens“ bedeutet die Summe mehrerer Trefferzahlen oder das Gegenereignis, nicht nur den Wert für genau k. Ein binomiales Modell passt nicht, wenn sich p von Versuch zu Versuch verändert.
Häufige Fragen zu Binomialverteilung verstehen und berechnen
Wann darf ich die Binomialverteilung verwenden?
Wenn es pro Versuch zwei Ausgänge gibt, p konstant bleibt und die Versuche unabhängig sind.
Was bedeutet mindestens k?
Mindestens k umfasst k und alle größeren Werte. Oft ist das Gegenereignis einfacher zu berechnen.
Was sagen Erwartungswert und Streuung aus?
Der Erwartungswert beschreibt die mittlere Trefferzahl; die Streuung beschreibt, wie stark einzelne Ergebnisse typischerweise um diesen Wert schwanken.
NÄCHSTER SCHRITT
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