Aufgabe
Formuliere H₀ und H₁ für die Frage: „Ist der Anteil defekter Teile größer als 2 %?“
Lösung öffnen
- H₀: p=0,02 (oder p≤0,02 im Kontext).
- H₁: p>0,02.
- Das ist ein rechtsseitiger Test.
03.2
Hypothesentest Schritt für Schritt
STOCHASTIK · HYPOTHESENTEST
Ein Hypothesentest übersetzt eine Vermutung in eine überprüfbare Entscheidung. Du formulierst H₀ und H₁, legst das Signifikanzniveau fest, bestimmst den Ablehnungsbereich und deutest das Ergebnis vorsichtig im Kontext. Diese Seite bündelt die wichtigsten Schritte für das Mathe-Abi im DACH-Raum.
STOCHASTIK · HYPOTHESENTEST
Von der Frage zur Entscheidung
Ein Hypothesentest übersetzt eine Vermutung in eine überprüfbare Entscheidung. Du formulierst H₀ und H₁, legst das Signifikanzniveau fest, bestimmst den Ablehnungsbereich und deutest das Ergebnis vorsichtig im Kontext.
\[H_0:p=p_0\qquad P(\text{Fehler 1. Art})\leq\alpha\]
Nullhypothese:H₀ beschreibt den Ausgangszustand, den du zunächst annimmst.
Testseite:„Mehr“ führt zu einem rechtsseitigen, „weniger“ zu einem linksseitigen Test; „anders“ ist zweiseitig.
Entscheidung:Verwirf H₀ nur, wenn das Ergebnis im Ablehnungsbereich liegt.
DACH-Hinweis: Der gemeinsame Kern gilt in Deutschland, Österreich und der Schweiz; Reihenfolge, Hilfsmittel und Vertiefung können sich je nach Bundesland oder Kanton unterscheiden.
ARBEITSWEG
So gehst du sicher vor
Ein fester Ablauf macht deine Lösung nachvollziehbar und hilft dir, typische Flüchtigkeitsfehler zu vermeiden.
CHECK
- Übersetze die Behauptung in H₀ und H₁ mit einem klaren Parameter.
- Bestimme ein-, zwei- oder rechtsseitigen Test und notiere α.
- Bestimme den Ablehnungsbereich oder den p-Wert.
- Entscheide und formuliere den Satz im Sachkontext; behaupte keine absolute Wahrheit.
GERECHNETES BEISPIEL
Rechtsseitiger Test
Eine Münze soll höchstens mit p=0,5 Kopf zeigen. Bei n=20 Würfen fallen 15 Köpfe. Teste auf α=5 % gegen p>0,5.
\[P(X\geq15\mid p=0{,}5)=\frac{21700}{1048576}\approx0{,}0207<0{,}05\]
Ergebnis: Der Wert liegt im Ablehnungsbereich. H₀ wird verworfen; die Stichprobe liefert auf dem 5%-Niveau einen Hinweis auf eine höhere Kopf-Wahrscheinlichkeit.
5 AUFGABEN ZUM TRAINIEREN
Aufgabe
Was bedeutet es, wenn das Ergebnis nicht im Ablehnungsbereich liegt?
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- H₀ wird nicht verworfen.
- Das Ergebnis liefert keinen ausreichenden Beleg gegen H₀ bei diesem α.
- Eine absolute Bestätigung von H₀ ist damit nicht gemeint.
Aufgabe
Beschreibe einen Fehler 1. Art in einem Qualitätskontrolltest.
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- H₀ lautet: Die Produktionsrate ist höchstens 2 % defekt.
- Ein Fehler 1. Art verwirft H₀, obwohl sie wahr ist.
- Die Fabrik stoppt also unnötig wegen eines falschen Alarms.
Aufgabe
Eine Abfüllanlage soll im Mittel 500 ml liefern. Es soll geprüft werden, ob sie unterfüllt. Formuliere die Hypothesen und nenne die Testrichtung.
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- Die Nullhypothese beschreibt den Sollwert: \(H_0:\mu=500\,\text{ml}\).
- Die Gegenhypothese lautet \(H_1:\mu<500\,\text{ml}\).
- Wegen „unterfüllt“ ist es ein linksseitiger Test.
Aufgabe
Ein Test ergibt p=0,032 bei Signifikanzniveau α=0,05. Was entscheidest du?
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- Vergleiche p-Wert und Signifikanzniveau: \(0{,}032<0{,}05\).
- Das Ergebnis liegt im Ablehnungsbereich; H₀ wird verworfen.
- Formuliere den Befund im Kontext als statistischen Hinweis, nicht als Beweis.
Typische Fehler: H₀ wird nicht „bewiesen“: Außerhalb des Ablehnungsbereichs wird sie nur nicht verworfen. Der Fehler 1. Art ist das Verwerfen einer richtigen H₀; er ist nicht dasselbe wie ein Rechenfehler.
Häufige Fragen zu Hypothesentest Schritt für Schritt
Was ist das Signifikanzniveau?
α ist die maximal zugelassene Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art, wenn H₀ tatsächlich gilt.
Was ist der Unterschied zwischen H₀ und H₁?
H₀ beschreibt den Ausgangszustand; H₁ ist die gerichtete Behauptung, für die du Hinweise suchst.
Wie formuliere ich die Testentscheidung?
Schreibe, ob H₀ verworfen oder nicht verworfen wird, und ergänze immer die Bedeutung im Sachkontext.
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