Aufgabe
Wie lautet z für x=130, μ=100 und σ=15?
Lösung öffnen
- Setze in z=(x−μ)/σ ein.
- z=(130−100)/15=2.
- Der Wert liegt zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert.
03.3
Normalverteilung verstehen und rechnen
STOCHASTIK · NORMALVERTEILUNG
Die Normalverteilung beschreibt stetige Messwerte, die sich symmetrisch um einen Mittelwert μ konzentrieren. Die Standardabweichung σ gibt an, wie breit die Verteilung ist. Diese Seite bündelt die wichtigsten Schritte für das Mathe-Abi im DACH-Raum.
STOCHASTIK · NORMALVERTEILUNG
Stetige Werte um einen Mittelpunkt
Die Normalverteilung beschreibt stetige Messwerte, die sich symmetrisch um einen Mittelwert μ konzentrieren. Die Standardabweichung σ gibt an, wie breit die Verteilung ist.
\[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\qquad P(a\leq X\leq b)=P\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\leq Z\leq\frac{b-\mu}{\sigma}\right)\]
Mittelwert μ:Er beschreibt die Mitte der Verteilung und ist zugleich Erwartungswert.
Streuung σ:Je größer σ, desto breiter verteilen sich die Werte.
Stetigkeit:Einzelne exakte Werte haben bei einer stetigen Verteilung Wahrscheinlichkeit null; Intervalle sind sinnvoll.
DACH-Hinweis: Der gemeinsame Kern gilt in Deutschland, Österreich und der Schweiz; Reihenfolge, Hilfsmittel und Vertiefung können sich je nach Bundesland oder Kanton unterscheiden.
ARBEITSWEG
So gehst du sicher vor
Ein fester Ablauf macht deine Lösung nachvollziehbar und hilft dir, typische Flüchtigkeitsfehler zu vermeiden.
CHECK
- Lies μ und σ aus dem Kontext und zeichne die Grenzen grob ein.
- Standardisiere jede Grenze mit z=(x−μ)/σ.
- Nutze Tabelle, Rechner oder Verteilungsfunktion für die Intervallwahrscheinlichkeit.
- Runde erst am Ende und formuliere das Ergebnis im Kontext.
GERECHNETES BEISPIEL
Intervall um den Mittelwert
Körperlängen seien normalverteilt mit μ=100 und σ=15. Gesucht ist P(85≤X≤115).
\[P(85\leq X\leq115)=P(-1\leq Z\leq1)\approx0{,}6827\]
Ergebnis: Rund 68,27 % der Werte liegen in diesem Intervall. Das ist die bekannte 1-σ-Regel der Normalverteilung.
5 AUFGABEN ZUM TRAINIEREN
Aufgabe
Was bedeutet P(μ−σ≤X≤μ+σ) ungefähr?
Lösung öffnen
- Standardisieren ergibt −1≤Z≤1.
- Bei der Normalverteilung liegen dort etwa 68,27 %.
- Es ist eine Modellregel, kein exakter Wert für jede Stichprobe.
Aufgabe
Warum ist eine einzelne exakte Körpergröße nicht sinnvoll als Wahrscheinlichkeit anzugeben?
Lösung öffnen
- Die Normalverteilung ist stetig.
- Einzelpunkte haben Wahrscheinlichkeit null.
- Sinnvoll sind Intervalle wie „zwischen 170 und 180 cm“.
Aufgabe
Für eine normalverteilte Größe mit Mittelwert μ=50 und Standardabweichung σ=4: Schätze \(P(46\leq X\leq58)\) mithilfe der Standardnormalverteilung.
Lösung öffnen
- Standardisiere: \(z_1=(46-50)/4=-1\) und \(z_2=(58-50)/4=2\).
- \(P(-1\leq Z\leq2)=\Phi(2)-\Phi(-1)\).
- Das ergibt ungefähr \(0{,}8186\), also 81,9 %.
Aufgabe
Bei einer Normalverteilung wird σ verdoppelt. Was passiert mit der Glockenkurve?
Lösung öffnen
- Der Mittelwert μ bleibt an derselben Stelle.
- Die Verteilung wird breiter und flacher.
- σ ist eine Streuung auf der x-Achse, keine Wahrscheinlichkeit.
Typische Fehler: σ ist eine Länge auf der x-Achse, keine Wahrscheinlichkeit. Bei „höchstens“ und „mindestens“ müssen die Randbereiche korrekt gelesen werden.
Häufige Fragen zu Normalverteilung verstehen und rechnen
Was bedeuten μ und σ?
μ ist der Mittelwert, σ die Standardabweichung und damit ein Maß für die Streuung.
Wie standardisiere ich einen Wert?
Ziehe μ ab und teile durch σ: z=(x−μ)/σ.
Wann ist die Normalverteilung ein gutes Modell?
Wenn Messwerte ungefähr symmetrisch um einen Mittelwert liegen und keine starken Schiefe- oder Randprobleme zeigen.
NÄCHSTER SCHRITT
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