04.2
Logarithmusregeln
Produkt · Quotient · Potenz · Basiswechsel
Logarithmen machen Exponenten sichtbar. Mit diesen Regeln zerlegst du Produkte und Quotienten, holst Exponenten nach vorne und wechselst sicher die Basis.
MATHEMATIK · RECHENREGELN
Logarithmusregeln verständlich anwenden
Ordne zuerst die Struktur des Terms, prüfe die Bedingungen und setze dann die passende Regel ein. Jede Formel ist als skalierbare LaTeX-Formel gesetzt.
\[\log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y)\]
Argumentx > 0, weil der Logarithmus nur für positive Argumente definiert ist.
Basisb > 0 und b ≠ 1.
ProduktBei log_b(xy) müssen x und y positiv sein.
| Regel | Formel | Wofür? |
|---|---|---|
| Produktregel | \[\log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y)\] | Produkte in Summen umformen |
| Quotientenregel | \[\log_b\left(\frac{x}{y}\right)=\log_b(x)-\log_b(y)\] | Quotienten in Differenzen umformen |
| Potenzregel | \[\log_b(x^n)=n\log_b(x)\] | Exponent vor den Logarithmus ziehen |
| Basiswechsel | \[\log_b(x)=\frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}\] | Taschenrechner-Basis verwenden |
| Einheitselement | \[\log_b(1)=0\] | weil b^0=1 |
| Basiswert | \[\log_b(b)=1\] | weil b^1=b |
| Umkehrung | \[b^{\log_b(x)}=x\] | Exponential- und Logarithmusfunktion kehren sich um |
Beispiele mit Rechenweg
Produktregel
Zerlege 12 als 3 · 4.
\[\log_2(12)=\log_2(3)+\log_2(4)=\log_2(3)+2\]
Potenzregel
Der Exponent 3 steht vor dem Logarithmus.
\[\log_5(x^3)=3\log_5(x)\]
Basiswechsel
Für den Rechner mit ln umformen.
\[\log_2(7)=\frac{\ln 7}{\ln 2}\approx2{,}807\]
Häufige Fragen zu Logarithmusregeln
Welche drei Logarithmusregeln sind am wichtigsten?
Produktregel, Quotientenregel und Potenzregel; ergänzend der Basiswechsel.
Warum muss das Argument positiv sein?
Eine positive Basis kann keine negativen oder null Werte als Potenz erzeugen.
Kann ich Logarithmen addieren?
Ja, wenn sie dieselbe Basis haben: Die Summe wird zum Logarithmus eines Produkts.
Weiterführend: Original: Logarithmusregeln · Weisenhills University
