Aufgabe
Vereinfache \(2^3·2^4\).
Lösung öffnen
- Gleiche Basis erkennen.
- Exponenten addieren: 3+4=7.
- Ergebnis: 2⁷=128.
04.1
Potenzgesetze und Potenzregeln
RECHENREGELN · POTENZEN
Potenzgesetze helfen dir, Terme mit gleicher Basis oder gleichem Exponenten umzuschreiben. Prüfe zuerst die Struktur und danach, ob Variablen im Nenner oder unter einer Wurzel zusätzliche Bedingungen erzeugen. Diese Seite bündelt die wichtigsten Schritte für das Mathe-Abi im DACH-Raum.
FORMELSAMMLUNG
Alle Potenzgesetze auf einen Blick
„Exponentialregeln“ ist die alternative Bezeichnung für denselben Regelbereich. Diese gemeinsame Übersicht steht deshalb an einer Stelle.
| Name | Regel |
|---|---|
| Multiplikation gleicher Basis | \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\) |
| Division gleicher Basis | \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\quad(a\neq0)\) |
| Potenz einer Potenz | \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\) |
| Produkt potenzieren | \((ab)^n=a^n\cdot b^n\) |
| Quotient potenzieren | \(\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\quad(b\neq0)\) |
| Produkt gleicher Exponenten | \(a^n\cdot b^n=(ab)^n\) |
| Quotient gleicher Exponenten | \(\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n\quad(b\neq0)\) |
| Nullter Exponent | \(a^0=1\quad(a\neq0)\) |
| Negativer Exponent | \(a^{-n}=\frac1{a^n}\quad(a\neq0)\) |
| Gebrochener Exponent | \(a^{1/n}=\sqrt[n]{a}\) |
RECHENREGELN · POTENZEN
Strukturen statt Auswendiglernen
Potenzgesetze helfen dir, Terme mit gleicher Basis oder gleichem Exponenten umzuschreiben. Prüfe zuerst die Struktur und danach, ob Variablen im Nenner oder unter einer Wurzel zusätzliche Bedingungen erzeugen.
\[a^m\cdot a^n=a^{m+n}\qquad\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\qquad a^{-n}=\frac1{a^n}\]
Gleiche Basis:Exponenten werden nur bei Produkten oder Quotienten gleicher Basen addiert oder subtrahiert.
Nenner:Bei negativen Exponenten und Quotienten darf die Basis nicht null sein.
Wurzeln:Gebrochene Exponenten gelten im reellen Bereich nur unter passenden Definitionsbedingungen.
DACH-Hinweis: Der gemeinsame Kern gilt in Deutschland, Österreich und der Schweiz; Reihenfolge, Hilfsmittel und Vertiefung können sich je nach Bundesland oder Kanton unterscheiden.
ARBEITSWEG
So gehst du sicher vor
Ein fester Ablauf macht deine Lösung nachvollziehbar und hilft dir, typische Flüchtigkeitsfehler zu vermeiden.
CHECK
- Markiere gleiche Basen oder gleiche Exponenten.
- Wende genau eine Regel an und schreibe den Zwischenschritt sichtbar.
- Forme negative Exponenten als Kehrwert um, wenn eine klare Bruchform gefragt ist.
- Setze einen einfachen Wert ein, um die Umformung zu kontrollieren.
GERECHNETES BEISPIEL
Negative und gebrochene Exponenten
Vereinfache \(x^{-3}\) und \(27^{2/3}\).
\[x^{-3}=\frac1{x^3}\qquad27^{2/3}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=9\]
Ergebnis: Der negative Exponent erzeugt einen Kehrwert; der gebrochene Exponent beschreibt eine Wurzel mit anschließender Potenz.
5 AUFGABEN ZUM TRAINIEREN
Aufgabe
Vereinfache \(x^5/x^2\) für x≠0.
Lösung öffnen
- Gleiche Basis im Quotienten.
- Exponenten subtrahieren: 5−2=3.
- Ergebnis: x³.
Aufgabe
Warum ist \(x^2+x^3\) nicht gleich \(x^5\)?
Lösung öffnen
- Die Terme werden addiert, nicht multipliziert.
- Potenzregeln für gleiche Basen gelten hier nicht.
- Ausklammern wäre möglich: x²(1+x).
Aufgabe
Vereinfache \(\frac{(x^2)^3}{x^4}\) für \(x\neq0\).
Lösung öffnen
- Potenz einer Potenz: \((x^2)^3=x^6\).
- Bei gleicher Basis im Quotienten Exponenten subtrahieren: \(x^{6-4}\).
- Ergebnis: \(x^2\).
Aufgabe
Vereinfache \(2^4\cdot5^4\), ohne die beiden Potenzen einzeln auszurechnen.
Lösung öffnen
- Beide Faktoren haben denselben Exponenten.
- Nutze \(a^n\cdot b^n=(ab)^n\).
- \(2^4\cdot5^4=(2\cdot5)^4=10^4=10000\).
Typische Fehler: Exponenten dürfen bei einer Summe nicht einfach addiert werden. Beim Kürzen müssen Faktoren vorliegen; Summanden darfst du nicht wegkürzen.
Häufige Fragen zu Potenzgesetze und Potenzregeln
Wann darf ich Exponenten addieren?
Nur bei einem Produkt gleicher Basen: aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ.
Was bedeutet ein negativer Exponent?
Er bezeichnet den Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz.
Sind Potenzgesetze und Exponentialregeln dasselbe?
Im Schulkontext werden beide Begriffe oft für dieselben grundlegenden Umformungsregeln verwendet.
NÄCHSTER SCHRITT
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BILDERSAMMLUNG
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